Question

7．设f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0且a≠1），已知f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）把已知f（1）=2代入原函数即可求出a的值，再由对数函数的性质列出不等式组，解不等式组则函数的定义域可求；
（2）把已知函数变为f（x）=log₂[-（x-1）²+4]，再由对数函数的单调性得到函数f（x）在（-1，3）上的最大值，则f（x）的值域可求．

解答 解：（1）∵f（1）=2，∴log_a4=2（a＞0且a≠1），
∴a=2．
由$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 3-x＞0\end{array}\right.$，得x∈（-1，3），
∴函数f（x）的定义域为：（-1，3）；
（2）f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）
=log₂（1+x）（3-x）=log₂[-（x-1）²+4]，
∴当x∈（-1，1]时，f（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，f（x）是减函数，
∴函数f（x）在（-1，3）上的最大值是f（1）=log₂4=2．
∴函数的值域为：（-∞，2）．

点评 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域，是中档题．