Question

9．某中学根据2002-2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，$\frac{1}{3}$，n，已知三个社团他都能进入的概率为$\frac{1}{24}$，至少进入一个社团的概率为$\frac{3}{4}$，且m＞n．
（1）求m与n的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）根据假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，$\frac{1}{3}$，n，已知三个社团他都能进入的概率为$\frac{1}{24}$，至少进入一个社团的概率为$\frac{3}{4}$，且m＞n，建立方程组，即可求m与n的值；
（2）确定学分X的可能取值，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}mn=\frac{1}{24}}\\{1-\frac{2}{3}（1-m）（1-n）=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，m＞n
∴m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{4}$；
（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则
P（X=0）=$\frac{1}{4}$，P（X=1）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，P（X=2）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{8}$，P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×$$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{24}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{12}$，P（X=5）=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，P（X=6）=$\frac{1}{24}$．
X的分布列

X	0	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{24}$

期望EX=0×$\frac{1}{4}$+1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{1}{8}$+3×$\frac{5}{24}$+4×$\frac{1}{12}$+5×$\frac{1}{24}$+6×$\frac{1}{24}$=$\frac{23}{12}$．

点评 本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．