Question

12．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过AC且与直线D₁B平行的截面交D₁D于点M，则△MAC的面积为=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 连接BD，交AC于O点，取DD₁的中点M，连接OM，求出△MAC的底面边长和高，代入三角形面积公式，可得答案．

解答 解：如下图所示：

连接BD，交AC于O点，取DD₁的中点M，连接OM，
则OM∥D₁B，
由OM?平面MAC，D₁B?平面MAC，
故此时平面MAC，即为过AC且与直线D₁B平行的截面，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
∴△MAC的底边长2$\sqrt{2}$，高OM=$\sqrt{{OD}^{2}+{DM}^{2}}$=$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故△MAC的面积S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的知识点是正方体的几何特征，线面平行的几何特征，三角形面积公式，难度中档．