Question

13．记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f'（x），如果存在x₀∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f'（x₀）（b-a）成立，则称x₀为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x³-3x在区间[-2，2]上“中值点”的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 设函数f（x）的“中值点”为x₀，求出函数f（x）的导数，求得f′（x₀）=1，解方程即可得到所求个数．

解答 解：设函数f（x）的“中值点”为x₀，
f（x）=x³-3x的导数为f′（x）=3x²-3，
由题意可得f′（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{f（2）-f（-2）}{4}$
=$\frac{8-6-（-8+6）}{4}$=1，
即3x${\;}_{0}^{2}$-3=1，解得x₀=±$\frac{2}{\sqrt{3}}$=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$∈[-2，2]，
故函数y=x³-3x在区间[-2，2]上“中值点”的个数是2．
故选：C．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的应用，考查运算能力，属于中档题．