Question

4．已知$\overrightarrow a=（x-1，2），\overrightarrow b=（4，-x）$，当$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$时，
（1）求此时$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角正弦值；
（2）求向量$t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b$模长的最小值．

Answer 1

分析 （1）$cos\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞=\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|•|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|}}=-\frac{3}{5}$，$sin\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞=\frac{4}{5}$．
（2）$|{t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b}|=\sqrt{{{（4-3t）}^2}+{{（4t-2）}^2}}=\sqrt{25{t^2}-40t+20}=\sqrt{25{{（t-\frac{4}{5}）}^2}+4}$，
当$t=\frac{4}{5}$时，$|{t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b}|$取最小值．

解答 解：依题意，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=4（x-1）-2x=0⇒x=2$，∴$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（4，-2）$．
（1）$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（5，0），\overrightarrow a-\overrightarrow b=（-3，4）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞=\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|•|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|}}=-\frac{3}{5}$，
∴$\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞$为钝角，∴$sin\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞=\frac{4}{5}$．
（2）$t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b=（4-3t，4t-2）$，
∴$|{t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b}|=\sqrt{{{（4-3t）}^2}+{{（4t-2）}^2}}=\sqrt{25{t^2}-40t+20}=\sqrt{25{{（t-\frac{4}{5}）}^2}+4}$，
∴当$t=\frac{4}{5}$时，$|{t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b}|$取最小值2．

点评 本题考查了向量的数量积运算、模的运算，属于中档题．