Question

5．已知函数f（x）在R上有定义，且满足f（x）+xf（1-x）=x．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）若f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用函数方程的思想，将原式中的x换为1-x，消去f（1-x），解方程即可得到f（x）的解析式；
（2）因为f（x）＞a恒成立，即f（x）_min＞a．讨论x=0，x≠0时，函数f（x）的最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）记f（x）+xf（1-x）=x①，
将等式①中的x替换为1-x得到f（1-x）+（1-x）f（x）=1-x②，
将②式乘x，得xf（1-x）+x（1-x）f（x）=x（1-x）③，
①-③得f（x）-x（1-x）f（x）=x-x（1-x），
整理得，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$．
（2）①当x=0时，f（x）=0；
②当x≠0时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1}$，
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1$，
令g（x）中$\frac{1}{x}$=t，所以g（x）=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
因为g（x）$≥\frac{3}{4}$，所以0＜f（x）≤$\frac{3}{4}$，
综合①②可得0≤f（x）≤$\frac{3}{4}$，
因为f（x）＞a恒成立，即f（x）_min＞a．
因此a＜0．即实数a的取值范围为（-∞，0）．

点评 本题考查函数解析式的求法，注意运用函数方程转化思想，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．