Question

3．已知数列{a_n}满足a₁+$\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}={2^{n+1}}$（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得n=1的首项，将n换为n-1，相减即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）设{a_n}的前n项和为S_n，则${S_n}=4+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}（n≥2，n∈N*）$，两边乘以2，作差后运用等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，由题设知a₁=4；
当n≥2时，由题设${a_1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}={2^{n+1}}$，知${a_1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}={2^n}$，
两式相减得$\frac{a_n}{n}={2^{n+1}}-{2^n}$，
即${a_n}=n•{2^n}（n≥2）$，
故{a_n}的通项公式为${a_n}=\left\{\begin{array}{l}4，（n=1）\\ n•{2^n}，（n≥2，n∈N*）\end{array}\right.$；
（Ⅱ）设{a_n}的前n项和为S_n，
则${S_n}=4+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}（n≥2，n∈N*）$，$2{S_n}=2×4+2×{2^3}+3×{2^4}+…+（n-1）×{2^n}+n×{2^{n+1}}（n≥2，n∈N*）$，
两式相减得$-{S_n}=4-8+8+（{2^3}+{2^4}+…+{2^n}）-n×{2^{n+1}}$
=4+$\frac{8（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹，
化简得${S_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+4$，
当n=1时，S₁=4，满足S_n，
所以${S_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+4$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．