Question

8．若抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），则p=2；设M是抛物线C上的动点，A（4，3），则|MA|+|MF|的最小值为5．

Answer 1

分析 根据抛物线的焦点坐标可得$\frac{p}{2}$=1，解得p；由抛物线的定义，将|MA|+|MF|转化成|MA|+|PM|．由平面几何知识，可得当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|有最小值．由此即可得到|MA|+|MF|取得最小值，进而得到相应的点M的坐标．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），
可得$\frac{p}{2}$=1，即p=2；
由题意y²=4x得F（1，0），准线方程为 x=-1，
点A（4，3），设点M到准线的距离为d=|PM|，
则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，
|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=4-（-1）=5，
再将y=3代入抛物线y²=4x 得x=$\frac{9}{4}$，
故点M的坐标是：（$\frac{9}{4}$，3）．
故答案为：2，5．

点评 本题考查抛物线的定义和性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．