Question

已知定义在R上的函数f（x）=-f（x+

3

2

），且f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，f（1）+f（2）+…+f（2009）+f（2010）=

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意可推出f（x）=f（x+3），结合f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，利用分组求和法可得答案．

解答： 解：f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+3）=f[（x+

3

2

）+

3

2

]=-f（x+

3

2

）=f（x），
故函数f（x）是以3为周期的周期函数，
又∵（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，
∴f（1）=-1，f（2）=-1，f（3）=2，
即f（1）+f（2）+f（3）=0，
故f（1）+f（2）+…+f（2009）+f（2010）=670×[f（1）+f（2）+f（3）]=0，
故答案为：0

点评：本题考查函数的周期性，及求函数值，推出f（x）=f（x+3），是解题的关键．