Question

4．据俄罗斯新罗西斯克2015年5月17日电 记者吴敏、郑文达报道：当地时间17日，参加中俄“海上联合-2015（Ⅰ）”军事演习的9艘舰艇抵达地中海预定海域，混编组成海上联合集群．接到命令后我军在港口M要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄军轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口M北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值并说明你的推理过程；
（3）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先假设相遇时小艇的航行距离为S，根据余弦定理可得到关系式S=$\sqrt{900{t}^{2}-600t+400}$，整理后运用二次函数的性质可确定答案．
（2）先假设小艇与轮船在某处相遇，根据余弦定理可得到（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范围可求得v的最小值．
（3）根据（2）中v与t的关系式，设$\frac{1}{t}$=μ，然后代入关系式整理成400u²-600u+900-v²=0，将问题等价于方程有两个不等正根的问题，进而得解．

解答 解：（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S=$\sqrt{900{t}^{2}-600t+400}$，
当t=$\frac{1}{3}$，S_min=10$\sqrt{3}$，v=30$\sqrt{3}$，
即小艇以30$\sqrt{3}$的速度航行时，相遇时小艇航行距离最小．
（2）设小艇与轮船在B处相遇．
由题意得（vt）²=20²+（30t）²-1 200t•cos60°，
v²=$\frac{400}{{t}^{2}}$-$\frac{600}{t}$+900=400（$\frac{1}{t}$-$\frac{3}{4}$）²+675．
∵0＜t≤$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{t}$=2时，v取得最小值10$\sqrt{13}$．
（3）由（2）知v²=$\frac{400}{{t}^{2}}$-$\frac{600}{t}$+900，设$\frac{1}{t}$=μ（μ＞0），
∴400μ²-600μ+900-v²=0．
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于上述方程应有两个不等正根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{60{0}^{2}-1600（900-{v}^{2}）＞0}\\{900-{v}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得15$\sqrt{3}$＜v＜30．

点评 本题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归思想．