Question

12．（1）已知$f（x）=（1-3x）{（1+x）^5}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$，求${a_0}+\frac{1}{3}{a_1}+\frac{1}{3^2}{a_2}+…+\frac{1}{3^6}{a_6}$
（2）已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中，第6项为常数项，求含x²的项的系数；
（3）求和${S_{10}}=C_{10}^1+2C_{10}^2+3C_{10}^3+…+10C_{10}^{10}$．

Answer 1

分析 （1）比较可知求f（$\frac{1}{3}$）即可；
（2）利用二项式定理可知展开式中通项公式T_k+1=${C}_{n}^{k}$•${x}^{\frac{n-k}{3}}$•$（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{k}$，利用第6项为常数项可求出n=10，进而可知T_k+1=${C}_{10}^{k}$•$（-\frac{1}{2}）^{k}$•${x}^{\frac{10-2k}{3}}$，令$\frac{10-2k}{3}$=2，进而计算即可；
（3）通过倒序相加法，结合二项式定理计算即得结论．

解答 解：（1）∵$f（x）=（1-3x）{（1+x）^5}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$，
∴${a_0}+\frac{1}{3}{a_1}+\frac{1}{3^2}{a_2}+…+\frac{1}{3^6}{a_6}$=f（$\frac{1}{3}$）=（1-3×$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）⁵=0；
（2）由二项式定理可知（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中通项公式T_k+1=${C}_{n}^{k}$•${x}^{\frac{n-k}{3}}$•$（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{k}$，
又∵展开式中第6项为常数项，
∴${x}^{\frac{n-5}{3}}$•$（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{5}$为常数，即${x}^{\frac{n-5}{3}}$•${x}^{-\frac{5}{3}}$=1，∴n=10，
∴T_k+1=${C}_{10}^{k}$•${x}^{\frac{10-k}{3}}$•$（-\frac{1}{2}）^{k}$•${x}^{-\frac{k}{3}}$=${C}_{10}^{k}$•$（-\frac{1}{2}）^{k}$•${x}^{\frac{10-k}{3}}$•${x}^{-\frac{k}{3}}$=${C}_{10}^{k}$•$（-\frac{1}{2}）^{k}$•${x}^{\frac{10-2k}{3}}$，
令$\frac{10-2k}{3}$=2，解得：k=2，
∴含x²的项的系数为${C}_{10}^{2}$•$（-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{45}{4}$；
（3）∵${S_{10}}=C_{10}^1+2C_{10}^2+3C_{10}^3+…+10C_{10}^{10}$，
∴S₁₀=${C}_{10}^{9}$+2${C}_{10}^{8}$+…+7${C}_{10}^{3}$+8${C}_{10}^{2}$+9${C}_{10}^{1}$+10${C}_{10}^{0}$，
两式相加，得：2S₁₀=10（${C}_{10}^{10}$+${C}_{10}^{9}$+${C}_{10}^{8}$+…+${C}_{10}^{3}$+${C}_{10}^{2}$+${C}_{10}^{1}$+${C}_{10}^{0}$），
∴S₁₀=5（${C}_{10}^{10}$+${C}_{10}^{9}$+${C}_{10}^{8}$+…+${C}_{10}^{3}$+${C}_{10}^{2}$+${C}_{10}^{1}$+${C}_{10}^{0}$）
=5•（1+1）¹⁰
=5•2¹⁰．

点评 本题考查二项式定理，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．