Question

16．已知△ABC的面积为$3-\sqrt{3}，B={60°}$，又最大角与最小角的正切值恰好为方程 ${x^2}-3x+2=\sqrt{3}（x-1）$的根，求△ABC的另外两个角和三条边．

Answer 1

分析 假设 A 角最小，C 角最大，解一元二次方程可得两根，由已知可求tanA，tanC，进而可求A，C的值，利用三角形面积公式可求 $ac=4（\sqrt{3}-1）$，利用正弦定理可得$\sqrt{2}a=（\sqrt{6}-\sqrt{2}）c$，联立解得a，c的值，进而利用正弦定理可求b的值．

解答 解：假设 A 角最小，C 角最大，由方程 ${x}^{2}-3x+2=\sqrt{3}（x-1）$ 解得两根${x}_{1}=1，{x}_{2}=\sqrt{3}+2$，
则 tanA=1，$tanC=\sqrt{3}+2$，
所以A=45°，C=75°．
又因为 $S=3-\sqrt{3}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{\sqrt{3}}{4}ac$，即 $ac=4（\sqrt{3}-1）$．
将 A=45°，C=75° 代入 $\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得 $\sqrt{2}a=（\sqrt{6}-\sqrt{2}）c$．
由 $\left\{\begin{array}{l}ac=4（\sqrt{3}-1）\\ \sqrt{2}a=（\sqrt{6}-\sqrt{2}）c\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a=2（\sqrt{3}-1）\\ c=2.\end{array}\right.$，
又由正弦定理得：$b=\frac{asinB}{sinA}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，
所以△ABC 另外两角为 45^° 和 75^°，
可得三边分别为 $2（\sqrt{3}-1）$，$3\sqrt{2}-\sqrt{6}$ 和 2．

点评 本题主要考查了一元二次方程的解法，三角形面积公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．