Question

4．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π）且$sin（α+β）=\frac{3}{5}$，$cosβ=-\frac{5}{13}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 构造思想，sinα=sin（α+β-β），利用和与差公式打开，根据$sin（α+β）=\frac{3}{5}$，$cosβ=-\frac{5}{13}$，求出cos（α+β），sinβ可得答案．

解答 解：由α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π）∴α+β∈（$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}$），
又∵$sin（α+β）=\frac{3}{5}$＞0，
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），
则cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
$cosβ=-\frac{5}{13}$，
则：sinβ=$\frac{12}{13}$．
那么：sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）-$$（-\frac{4}{5}）×\frac{12}{13}$=$\frac{33}{65}$

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和和与差公式的灵活应用，构造思想，属于基本知识的考查．