Question

9．等比数列{a_n}中，若a₂a₅=2a₃，a₄与a₆的等差中项为$\frac{5}{4}$，则a₁=±16．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q．由a₂a₅=2a₃，可得${a}_{1}^{2}{q}^{5}$=2a₁q²，化为：${a}_{1}{q}^{3}$=2=a₄．由a₄与a₆的等差中项为$\frac{5}{4}$，可得a₄+a₆=2×$\frac{5}{4}$，即${a}_{4}（1+{q}^{2}）$=$\frac{5}{2}$．代入解出即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q．
∵a₂a₅=2a₃，
∴${a}_{1}^{2}{q}^{5}$=2a₁q²，化为：${a}_{1}{q}^{3}$=2=a₄．
∵a₄与a₆的等差中项为$\frac{5}{4}$，∴a₄+a₆=2×$\frac{5}{4}$，
∴${a}_{4}（1+{q}^{2}）$=$\frac{5}{2}$．
∴q²=$\frac{1}{4}$，解得q=$±\frac{1}{2}$．
则a₁×$（±\frac{1}{8}）$=2，解得a₁=±16．
故答案为：±16．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．