Question

19．设函数f（x）=e^x（x³-a）（a∈R）在（-3，0）单调递减，则a的范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． [2，4]
• C． [4，+∞）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≥x³+3x²在（-3，0）恒成立，令g（x）=x³+3x²，x∈（-3，0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=e^x（x³-a）+e^x（3x²）=e^x（x³+3x²-a），
若函数f（x）在（-3，0）单调递减，
则x³+3x²-a≤0在（-3，0）恒成立，
即a≥x³+3x²在（-3，0）恒成立，
令g（x）=x³+3x²，x∈（-3，0），
则g′（x）=3x²+6x=3x（x+2），
令g′（x）＞0，解得：x＞0（舍）或x＜-2，
令g′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
故g（x）在（-3，-2）递增，在（-2，0）递减
故g（x）的最大值是g（-2）=4，
故a≥4，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，函数恒成立问题，是一道中档题．