Question

6．已知函数f（x）=|x+2|+|x-2|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集A；
（2）若m，n∈A，试证：|${\frac{1}{3}$m-$\frac{1}{2}$n|≤$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可求不等式f（x）≤6的解集A；
（2）利用绝对值不等式，即可证明结论．

解答 （1）解：不等式|x+2|+|x-2|≤6可以转化为$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-（{x+2}）-（{x-2}）≤6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-2＜x≤2}\\{（{x+2}）-（{x-2}）≤6}\end{array}}\right.$
或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞2}\\{（{x+2}）+（{x-2}）≤6}\end{array}}\right.$，
解得-3≤x≤3，
即不等式的解集A={x|-3≤x≤3}．
（2）证明：因为$|{\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n}|≤|{\frac{1}{3}m}|+|{\frac{1}{2}n}|=\frac{1}{3}|m|+\frac{1}{2}|n|$，
又因为m，n∈A，所以|m|≤3，|n|≤3，
所以$\frac{1}{3}|m|+\frac{1}{2}|n|≤\frac{1}{3}×3+\frac{1}{2}×3=\frac{5}{2}$，当且仅当m=-n=±3时，等号成立，
即$|{\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n}|≤\frac{5}{2}$，得证．

点评 本题考查不等式的解法与证明，考查绝对值不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．