Question

1．如图，过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）左焦点F₁的直线交双曲线左支于A，B两点，C是双曲线右支上一点，且A，C在x轴的异侧，若满足|OA|=|OF₁|=|OC|，|CF₁|=2|BF₁|，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

Answer 1

分析 取双曲线的右焦点F₂，连接CF₂，延长交双曲线于D，连接AF₂，DF₁，由平面几何的性质可得四边形F₁AF₂C为矩形，设|CF₁|=2|BF₁|=2m，运用双曲线的定义和对称性，结合勾股定理，化简可得3m=4a，代入方程结合离心率公式，即可得到所求．

解答 解：取双曲线的右焦点F₂，连接CF₂，延长交双曲线于D，
连接AF₂，DF₁，
由|OA|=|OF₁|=|OC|=|OF₂|=c，
可得四边形F₁AF₂C为矩形，
设|CF₁|=2|BF₁|=2m，
由对称性可得|DF₂|=m，|AF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$，
即有|CF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$，
由双曲线的定义可得2a=|CF₁|-|CF₂|=2m-$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$，①
在直角三角形DCF₁中，|DC|=m+$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$，|CF₁|=2m，
|DF₁|=2a+m，
可得（2a+m）²=（2m）²+（m+$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$）²，②
由①②可得3m=4a，即m=$\frac{4a}{3}$，
代入①可得，2a=$\frac{8a}{3}$-$\sqrt{4{c}^{2}-\frac{64{a}^{2}}{9}}$，
化简可得c²=$\frac{17}{9}$a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和平面几何的性质，主要是勾股定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．