Question

4．如图，在棱台ABC-FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为AB中点，$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}（{λ∈R，λ＞0}）$．
（Ⅰ）设ND中点为Q，$λ=\frac{1}{2}$，求证：MQ∥平面ABC；
（Ⅱ）若M到平面BCD的距离为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求直线MC与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长三棱台的三条侧棱，设交点为S，当$λ=\frac{1}{2}$时M为FA的中点，设CD中点为R，连MR，MQ，RQ，由中位线定理可证MR∥平面ABC，QR∥平面ABC，再由面面平行的判定可得平面MQR∥平面ABC，从而得到MQ∥平面ABC；
（Ⅱ）设AB中点为H，连SH，AH，在△SAH中，作MO∥AH且交SH于点O，由平面ABC⊥平面BCDE，可得AH⊥平面SBC，进一步得到MO⊥平面SBC（D），求出M到平面SBC的距离MO．可得∠MCO为直线MC与平面BCD所成角．然后求解三角形得答案．

解答 （Ⅰ）证明：延长三棱台的三条侧棱，设交点为S，当$λ=\frac{1}{2}$时M为FA的中点，
设CD中点为R，连MR，MQ，RQ，
在梯形ACDF中，中位线MR∥AC，又MR?平面ABC，AC?平面ABC，
∴MR∥平面ABC；
在△CDN中，中位线QR∥CN，又QR?平面ABC，CN?平面ABC，
∴QR∥平面ABC，
又MR∩QR=R且MR?平面MQR，QR?平面MQR，
∴平面MQR∥平面ABC，
又MQ?平面MQR
∴MQ∥平面ABC；
（Ⅱ）解：设AB中点为H，连SH，AH，在△SAH中，作MO∥AH且交SH于点O，
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，
AH?平面ABC，AH⊥BC，∴AH⊥平面SBC，
又MO∥AH，∴MO⊥平面SBC（D），
∴MO为M到平面SBC的距离，MO=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
且∠MCO为直线MC与平面BCD所成角．
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，
CD?平面BCDE，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，
又AC?平面ABC，∴CD⊥AC，
在Rt△SAC中，DF∥AC，DF=1，AC=2，CD=1，
由$\frac{MO}{AH}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{3}{4}$，得$\frac{SM}{SA}=\frac{3}{4}$，即M为FA的中点．
∴CF⊥SA，又CF=$\sqrt{2}$，FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴CM=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
在Rt△MCO中，sin∠MCO=$\frac{MO}{MC}=\frac{3\sqrt{30}}{20}$．
故直线MC与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{{3\sqrt{30}}}{20}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．