Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，sin（B-C）=4cosBsinC，则$\frac{b}{c}$等于（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$+1
• B． 2$\sqrt{2}$-1
• C． $\sqrt{6}$+1
• D． $\sqrt{6}$-1

Answer 1

分析 由2sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，运用三角函数公式求出A，sin（B-C）和与差公式打开，再由正余弦弦定理，即可得$\frac{b}{c}$的值

解答 解：由2sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
可得：sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{2π}{3}$．
又∵sin（B-C）=sinBcosC-sinCcosB=4cosBsinC，
可得：sinBcosC=5cosBsinC．
得：sinBcosC+cosBsinC=6cosBsinC．
即sinA=6cosBsinC．
∴由正弦弦定理：得a=2c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$．
得2a²+3c²-3b²=0，即${a}^{2}=\frac{3}{2}（{b}^{2}+{c}^{2}）$
由余弦弦定理：a²=b²+c²-2bc×cos（120°）=b²+c²+bc．
∴b²-2bc-5c²=0，
同时除以bc．
可得：$（\frac{b}{c}）^{2}-2×\frac{b}{c}-5=0$．
解得：$\frac{b}{c}$=$\sqrt{6}+1$．
故选：C．

点评 本题考查三角形的余正弦定理和内角和定理以及和与差的运用，考查运算能力，属于中档题．