Question

17．设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，则|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积的定义求得${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，从而求得|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=3=1+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$，且${\overrightarrow{a}}^{2}$=-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-2+4=3，
则|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．