Question

12．已知圆M：（x-2）²+（y-2）²=2，圆N：x²+（y-8）²=40，经过原点的两直线l₁，l₂满足l₁⊥l₂，且l₁交圆M于不同两点A，B，l₂交圆N于不同两点C，D，记l₁的斜率为k．
（1）求k的取值范围；
（2）若四边形ABCD为梯形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离小于半径，即可求k的取值范围；
（2）由四边形ABCD为梯形可得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$，所以$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}}{{x}_{3}{x}_{4}}$，利用韦达定理，即可求k的值．

解答 解：（1）显然k≠0，所以l₁：y=kx，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x．
依题意得M到直线l₁的距离d₁=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜$\sqrt{2}$，
整理得k²-4k+1＜0，解得2-$\sqrt{3}$＜k＜2+$\sqrt{3}$；…（2分）
同理N到直线l₂的距离d₂=$\frac{|8k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜$\sqrt{40}$，解得-$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$，…（4分）
所以2-$\sqrt{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$．…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
将l₁代入圆M可得（1+k²）x²-4（1+k）x+6=0，
所以x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+{k}^{2}}$；…（7分）
将l₂代入圆N可得：（1+k²）x²+16kx+24k²=0，
所以x₃+x₄=-$\frac{16k}{1+{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{24{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．…（9分）
由四边形ABCD为梯形可得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$，所以$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}}{{x}_{3}{x}_{4}}$，
所以（1+k）²=4，解得k=1或k=-3（舍）．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．