Question

2．某军区老干部休养所（简称军干所）为纪念抗战胜利70周年，举行老干部捐赠抗战纪念品教育下一代的活动，随机抽取a名老干部为样本，得到这些老干部捐赠抗战纪念品的个数，根据此数据作出了频率分布表：

分组	频数	频率
[1，5）	5	0.2
[6，10）	15	m
[11，15）	n	P
[16，20）	1	0.04
合计	a	1

（1）求出表中m，n，p，a的值；
（2）军干所决定对捐赠抗战纪念品的老干部进行表彰，对捐赠抗战纪念品数在[16，20]区间的老干部发放价值400元的奖品，对捐赠抗战纪念品数在[11，15]区间的老干部发放价值300元的奖品，对捐赠抗战纪念品数在[6，10]区间的老干部发放价值200元的奖品，对捐赠抗战纪念品数在[1，5]区间的老干部发放价100元的奖品，在所取样本中，任意抽取2人，并设x为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求x的分布列与数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由频率分布表，利用频率=$\frac{频数}{总数}$，能求出表中m，n，p，a的值．
（2）由已知得X的可能取值为0，100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列与数学期望E（X）．

解答 解：（1）由频率分布表，得$\frac{5}{a}=0.2$，解得a=25，
∴m=$\frac{15}{25}$=0.6，n=25-5-15-1=4，P=$\frac{4}{25}$=0.16．
（2）由已知得X的可能取值为0，100，200，300，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{15}^{2}+{C}_{5}^{2}}{{C}_{25}^{2}}$=$\frac{121}{300}$，
P（X=100）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{15}^{1}+{C}_{15}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{25}^{2}}$=$\frac{139}{300}$，
P（X=200）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{15}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{25}^{2}}$=$\frac{35}{300}$，
P（X=300）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{25}^{2}}$=$\frac{5}{300}$，
∴X的分布列为：

X	0	100	200	300
P	$\frac{121}{300}$	$\frac{139}{300}$	$\frac{35}{300}$	$\frac{5}{300}$

EX=$0×\frac{121}{300}+100×\frac{139}{300}$+200×$\frac{35}{300}+300×\frac{5}{300}$=$\frac{224}{3}$．

点评 本题考查频率分布列的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．