Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（$\frac{8}{π}$x+1）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）的图象与性质，求出A、T、ω与φ的值即可；
（Ⅱ）写出函数f（$\frac{8}{π}$x+1）的解析式，再根据正弦函数的图象与性质求出它的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），
∴A=4，$\frac{T}{2}$=6-（-2）=8，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=16，
解得ω=$\frac{π}{8}$；
又当x=6时，ωx+φ=$\frac{π}{8}$×6+φ=2kπ，k∈Z；
令k=0，解得φ=-$\frac{3π}{4}$；
∴f（x）=4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）；
（Ⅱ）∵函数f（$\frac{8}{π}$x+1）=4sin[$\frac{π}{8}$（$\frac{8}{π}$x+1）-$\frac{3π}{4}$]
=4sin（x-$\frac{5π}{8}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{5π}{8}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得$\frac{π}{8}$+2kπ≤x≤$\frac{9π}{8}$+2kπ，k∈Z；
∴f（$\frac{8}{π}$x+1）的单调递增区间是[$\frac{π}{8}$+2kπ，$\frac{9π}{8}$+2kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了正弦函数的单调性与周期性的应用问题，是基础题目．