Question

14．算式：x²+$\frac{1}{{x}^{2}+2}$的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设t=x²+2，t≥2，则x²+$\frac{1}{{x}^{2}+2}$=t+$\frac{1}{t}$-2，设f（t）=t+$\frac{1}{t}$-2，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：设t=x²+2，t≥2，
则x²+$\frac{1}{{x}^{2}+2}$=t+$\frac{1}{t}$-2，
设f（t）=t+$\frac{1}{t}$-2，
∴f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（t）在[2，+∞）为增函数，
∴f（t）_min=f（2）=2+$\frac{1}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．