Question

11．已知数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）折b_n=log₂a_n（neN^*），试求数列（$\frac{1}{{b}_{n•{b}_{n+1}}}$）的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，
∴2a₂+2=$\frac{{a}_{2}}{2}$+2a₂，
解得a₂=4．
∴a_n=${a}_{2}•{2}^{n-2}$=4•2^n-2=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n，
$\frac{1}{{b}_{n•{b}_{n+1}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{b_n}前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．