Question

已知函数f（x）=（x²-2x）•lnx+ax²+2
（1）当a=-1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）-x-2，若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-1时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）构造函数，求函数的导数，判断函数的极值即可得到结论．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=（x²-2x）•lnx-x²+2，
则f′（x）=（2x-2）lnx+（x-2）-2x，
∴f′（1）=-3，f（1）=1，
则f（x）在（1，f（1））处的切线方程为3x+y-4=0；
（2）由g（x）=f（x）-x-2=0，得（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，
即a=

1-(x-2)lnx

x

，
设h（x）=

1-(x-2)lnx

x

，
则h′（x）=-

1

x2

-

1

x

+

2-2lnx

x2

=

1-x-2lnx

x2

，
令t（x）=1-x-2lnx，
则t′（x）=-1-

2

x

=

-x-2

x

，
∵t′（x）＜0，t（x）在（0，+∞）上是减函数，t（1）=h'（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
即h（x）的最大值为h（1）=1，
∴若函数g（x）有且仅有一个零点时，则a=1．

点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及函数单调性与导数之间的关系，考查学生的运算能力．