Question

6．经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1的左焦点和右顶点，且面积最小的圆的标准方程为（x+1）²+y²=25．

Answer 1

分析 求出双曲线的左焦点和右顶点，根据圆面积最小，则圆的直径是AF，求出圆心和半径即可得到结论．

解答 解：若经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1的左焦点F和右顶点A，且面积最小的圆，
则圆的直径是AF，
则由$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1得a²=16，b²=20，
则c²=16+20=36，即a=4，c=6，
则左焦点F（-6，0），右顶点A（4，0），
则中点为圆心为（-1，0），
直径2R=AF=4-（-6）=10，
则半径R=5，
则圆的标准方程（x+1）²+y²=25，
故答案为：（x+1）²+y²=25．

点评 本题主要考查圆的方程的求解，根据双曲线的性质求出a，c以及确定圆的直径是AF 是解决本题的关键．