Question

14．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为BB₁的中点，则直线MC与平面ACD₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 以D为原点建立坐标系，设正方体边长为1，求出平面ACD₁的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{MC}$的坐标，则|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MC}$＞|即为所求．

解答 解以D为原点，以DA，DC，DD₁为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：
设正方体棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），M（1，1，$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{MC}$=（-1，0，-$\frac{1}{2}$）．
设平面ACD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，设x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}•\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直线MC与平面ACD₁所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MC}$＞|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．