Question

17．已知数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N*，且${a_4}=\frac{π}{2}$，若函数$f（x）=sin2x+2{cos^2}\frac{x}{2}$，记y_n=f（a_n），则{y_n}的前7项和为7．

Answer 1

分析 推导出数列{a_n}是等差数列，a₁+a₇=a₂+a₆=a₃+a₅=2a₄=π，f（x）=sin2x+cosx+1，由此能求出数列{y_n}的前7项和．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N*，
∴数列{a_n}是等差数列，
∵${a_4}=\frac{π}{2}$，∴a₁+a₇=a₂+a₆=a₃+a₅=2a₄=π
∵$f（x）=sin2x+2{cos^2}\frac{x}{2}$，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∵a₁+a₇=a₂+a₆=a₃+a₅=2a₄=π
∴sin2a₁+sin2a₇=sin（2π-2a₇）+sin2a₇=-sin2a₇+sin2a₇=0，
cosa₁+cosa₇=cos（π-a₇）+cosa₇=-cosa₇+cosa₇=0，
∴f（a₁）+f（a₇）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₇+cosa₇+1=2
同理f（a₂）+f（a₆）=f（a₃）+f（a₅）=2
∵f（a₄）=sinπ+cos$\frac{π}{2}$+1=1，
∴数列{y_n}的前7项和为7．
故答案为：7．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、三角函数性质的合理运用．