Question

19．①x+$\frac{1}{x}$≥2；②|x+$\frac{1}{x}$|≥2；③$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$≥2；④$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$＞xy；⑤$\frac{|x+y|}{2}$≥$\sqrt{|xy|}$．其中正确的是②（写出序号即可）．

Answer 1

分析 由基本不等式可证②正确，其余举反例即可．

解答 解：当x＞0时，由基本不等式可得x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=$\frac{1}{x}$即x=1时取等号，
同理可得当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≤-2，当且仅当x=$\frac{1}{x}$即x=-1时取等号，
故x+$\frac{1}{x}$≥2或x+$\frac{1}{x}$≤-2，即|x+$\frac{1}{x}$|≥2，故①错误，②正确；
③错误，取x=1且y=-1时，可得-2≥2，矛盾；
④$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$＞xy错误，取x=y=1可得1＞1，矛盾；
⑤$\frac{|x+y|}{2}$≥$\sqrt{|xy|}$错误，取x=1且y=-1可得0≥1，矛盾．
故选答案为：2

点评 本题考查基本不等式求式子的范围，举反例是解决问题的关键，属基础题．