Question

4．设集合A={x|2log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-21log₈x+3≤0}，若当x∈A时，函数f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

分析 求解对数不等式得到log₂x的范围，利用对数的运算性质化简f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$，换元后分类讨论求出函数的最值，进一步求得实数a的值．

解答 解：由2log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-21log₈x+3≤0，得$2lo{{g}_{2}}^{2}x-7lo{g}_{2}x+3≤0$，
解得：$\frac{1}{2}≤lo{g}_{2}x≤3$．
∴A={x|2log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-21log₈x+3≤0}={x|$\frac{1}{2}≤lo{g}_{2}x≤3$}，
f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$=（log₂x-a）（log₂x-2）=$lo{{g}_{2}}^{2}x-（a+2）lo{g}_{2}x+2a$．
令t=log₂x（$\frac{1}{2}≤t≤3$），
则函数化为g（t）=t²-（a+2）t+2a，
其对称轴方程为t=$\frac{a+2}{2}$．
当$\frac{a+2}{2}≤\frac{7}{4}$，即$a≤\frac{3}{2}$时，g（t）_max=g（3）=9-3（a+2）+2a=2，解得：a=1；
当$\frac{a+2}{2}＞\frac{7}{4}$，即$a＞\frac{3}{2}$时，$g（t）_{max}=g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}（a+2）+2a=2$，解得：a=$\frac{11}{6}$．
∴实数a的值为1，$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查对数的运算性质，考查了利用换元法求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．