Question

一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如图，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点．

下列结论中正确的是

 

．（填上所有正确项的序号）
①线MN与A₁C 相交；②MN⊥BC；③MN∥平面ACC₁A₁；④三棱锥N-A₁BC的体积为V N-A1BC=

1

6

a³．

Answer 1

考点：简单空间图形的三视图,命题的真假判断与应用,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：取A₁B₁的中点D，连结DM、DN．根据中位线定理，线面平行的判定定理和面面平行的判断定理，可得平面DMN∥平面A₁AC₁C，可判断①，③；由三视图可得A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，即DN⊥平面BCC₁B₁，即DN⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面DMN，再由线面垂直的性质，可判断②；利用等积法，求出棱锥的体积，可判断④．

解答： 解：取A₁B₁的中点D，连结DM、DN．
由于M、N分别是所在棱的中点，
所以可得DN∥A₁C₁，DN?平面A₁AC₁C，A₁C₁?平面A₁AC₁C，所以DN∥平面A₁AC₁C．
同理可证DM∥平面A₁AC₁C．
又∵DM∩DN=D，
所以平面DMN∥平面A₁AC₁C，
所以直线MN与A₁C 相交不成立，①错误；
由三视图可得A₁C₁⊥平面BCC₁B₁．
所以DN⊥平面BCC₁B₁，
所以DN⊥BC，
又易知DM⊥BC，
所以BC⊥平面DMN，
所以BC⊥MN，②正确；
由①中，平面DMN∥平面A₁AC₁C，
可得：③正确；
因为V N-A1BC=VA1-NBC=

1

3

(

1

2

a2)a=

1

6

a³，所以④正确．
综上，②③④正确．
故答案为：②③④

点评：本题以三视图为载体，考查了空间线面关系的判定与证明，棱锥的体积，命题的真假判断，综合性强，难度中档．