题目内容
在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且10sin2
-5sin（2014π-A）=12，
＜A＜
．
（1）求cosA的值；
（2）若a=8，b=5，求向量
在
方向上的射影．
| B+C |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（1）求cosA的值；
（2）若a=8，b=5，求向量
| BA |
| BC |
考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的余弦函数
专题：平面向量及应用
分析：（1）首先，根据二倍角公式和诱导公式化简等式，然后，直接求解cosA=
．
（2）首先，求解sinA=
=
，然后，求解c=
=3+4
，最后，结合射影的概念求解．
| 3 |
| 5 |
（2）首先，求解sinA=
| 1-cos2A |
| 4 |
| 5 |
| bsinC |
| sinB |
| 3 |
解答：
解：（1）∵10sin2
-5sin（2014π-A）=12，
∴10×
-5sin(-A)=12，
∴5-5cos（π-A）+5sinA=12，
∴sinA+cosA=
，
∴sinA=
-cosA，
∵sin2A+cos2A=1，
∴（
-cosA）2+cos2A=1，
∴50cos2A-70cosA+24=0，
∴cosA=
或cosA=
，
∵
＜A＜
．
∴0＜A＜
，
∴cosA=
．
∴cosA的值
；
（2）∵a=8，b=5，
根据（1），cosA=
．
∴sinA=
=
，
根据正弦定理，得
=
，
∴sinB=
sinA=
，
∵sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=
×
+
×
=
，
∵
=
，
∴c=
=3+4
，
∴向量
在
方向上的射影|
|cosB=（3+4
）×
=6+
，
| B+C |
| 2 |
∴10×
| 1-cos(B+C) |
| 2 |
∴5-5cos（π-A）+5sinA=12，
∴sinA+cosA=
| 7 |
| 5 |
∴sinA=
| 7 |
| 5 |
∵sin2A+cos2A=1，
∴（
| 7 |
| 5 |
∴50cos2A-70cosA+24=0，
∴cosA=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴0＜A＜
| ||
| 2 |
∴cosA=
| 3 |
| 5 |
∴cosA的值
| 3 |
| 5 |
（2）∵a=8，b=5，
根据（1），cosA=
| 3 |
| 5 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
| 4 |
| 5 |
根据正弦定理，得
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
∴sinB=
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
∵sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
3+4
| ||
| 10 |
∵
| c |
| sinC |
| b |
| sinB |
∴c=
| bsinC |
| sinB |
| 3 |
∴向量
| BA |
| BC |
| BA |
| 3 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
点评：本题重点考查了三角公式、解三角形、正弦定理、射影等知识，属于中档题．
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