题目内容
已知双曲线C的中心在原点且经过点D（2，0），
=（2，1），
=（2，-1）分别是两条渐近线的方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）椭圆
+y2=1的左顶点为A，经过B（-
，0）的直线?与椭圆交于M，N两点，试判断
•
是否为定值，并证明你的结论．
（3）双曲线C或抛物线y2=2px（p＞0）是否也有类似（2）的结论？若是，请选择一个曲线写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
| m1 |
| m2 |
（1）求双曲线C的方程；
（2）椭圆
| x2 |
| 4 |
| 6 |
| 5 |
| AM |
| AN |
（3）双曲线C或抛物线y2=2px（p＞0）是否也有类似（2）的结论？若是，请选择一个曲线写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,类比推理,双曲线的标准方程
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出a，b，即可得到双曲线C的方程；
（2）判断
•
是否为定值，通过直线?的斜率不存在时，直接判断求解．直线?的斜率存在时，设出直线方程与双曲线方程联立，通过韦达定理以及向量的数量积化简整理即可．
（3）双曲线C或抛物线y2=2px（p＞0）也有类似（2）的结论，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
（2）判断
| AM |
| AN |
（3）双曲线C或抛物线y2=2px（p＞0）也有类似（2）的结论，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
解答：
解：（1）两条渐近线的方程为y=±
x，依题意a=2，所以b=1．故双曲线C的方程为：
-y2=1．…3′
（2）
•
为定值0，理由如下：当直线?的斜率不存在时，?的方程为x=-
，求得M(-
，
)，N(-
，-
)，此时
•
=(
，
)•(
，-
)=0；…4′
当直线?的斜率存在时，设直线?的方程为：y=k(x+
)，
联立
得（100k2+25）x2+240k2x+144k2-100=0，
显然△＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
，…6′，
y1•y2=k2(x1+
)(x2+
)=k2[x1•x2+
(x1+x2)+
]=-
，
所以
•
=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(x1+2)•(x2+2)+y1•y2=x1•x2+2(x1+x2)+4+y1•y2…9′
=
+2(-
)+4+
=0，
综上所述，
•
为定值0．…10′
（3）双曲线C：
-y2=1的左顶点为A，经过B(-
，0)的直线?与双曲线C交于M，N两点，
则
•
为定值0．
说明：①必须指出B点坐标，但可以不说具体定值．
②对双曲线C而言，与右顶点相关的点为B(
，0)．
③抛物线y2=2px（p＞0）也有类似结论：抛物线y2=2px（p＞0）的顶点为O，经过点B（2p，0）的直线?与抛物线y2=2px（p＞0）交于M，N两点，则
•
为定值0．…13′
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 4 |
（2）
| AM |
| AN |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| AM |
| AN |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
当直线?的斜率存在时，设直线?的方程为：y=k(x+
| 6 |
| 5 |
联立
|
显然△＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
|
y1•y2=k2(x1+
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 36 |
| 25 |
| 64k2 |
| 100k2+25 |
所以
| AM |
| AN |
=
| 144k2-100 |
| 100k2+25 |
| 240k2 |
| 100k2+25 |
| -64k2 |
| 100k2+25 |
综上所述，
| AM |
| AN |
（3）双曲线C：
| x2 |
| 4 |
| 10 |
| 3 |
则
| AM |
| AN |
说明：①必须指出B点坐标，但可以不说具体定值．
②对双曲线C而言，与右顶点相关的点为B(
| 10 |
| 3 |
③抛物线y2=2px（p＞0）也有类似结论：抛物线y2=2px（p＞0）的顶点为O，经过点B（2p，0）的直线?与抛物线y2=2px（p＞0）交于M，N两点，则
| AM |
| AN |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线方程的求法，类比推理的应用，综合性比较强．
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