Question

9．已知m＞1，且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0，4]．
（1）求m的值；
（2）若a，b均为正实数，且满足2a+b+m+4=ab，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据m的范围得到1-m≤x-2≤m-1，结合不等式的解集求出m的值即可；
（2）求出2a+b+7=ab，得到不等式（a+b）²-6（a+b）-27≥0，解出即可．

解答 解：（1）∵不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1，m＞1，
∴1-m≤x-2≤m-1，即3-m≤x≤m+1，
∵其解集为[0，4]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-m=0}\\{m+1=4}\end{array}\right.$，
∴m=3；
（2）由（1）得：2a+b+7=ab，
∴a+b+7=a（b-1）≤${（\frac{a+b-1}{2}）}^{2}$，
∴（a+b）²-6（a+b）-27≥0
即[（a+b）+3][（a+b）-9]≥0，
∴a+b≤-3（舍）或a+b≥9，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{a=b-1}\\{2a+b+7=ab}\end{array}\right.$，
即a=4，b=5时“=”成立，
∴a+b的最小值是9．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道中档题．