Question

18．设{a_n}是正数组成的数列，a₁=2．若点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-2的导函数y=f'（x）图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2}{{{a_{n+1}}•{a_n}}}$，是否存在最小的正数M，使得对任意n∈N^*都有b₁+b₂+…+b_n＜M成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-2可得：f′（x）=x²+2x．把点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）代入，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法及其数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-2可得：f′（x）=x²+2x．
∴${a_{n+1}}^2-2{a_{n+1}}={a_n}^2+2{a_n}⇒（{a_{n+1}}+{a_n}）（{a_{n+1}}-{a_n}-2）=0$，
又∵{a_n}是正项数列，∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=2，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（2）$b_n=\frac{2}{{a_{n+1}．a_n}}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2（n+1）}$，
∴b₁+b₂+…$+{b_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+…（\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}$＜$\frac{1}{2}$，
∴M的最小正数为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．