Question

10．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（2，4），其顶点的横坐标是$\frac{1}{2}$，它的图象与x轴交点为B（x₁，0）和C（x₂，0），且x₁²+x₂²=13．
①求函数的解析式；
②已知点D（$\frac{1}{2}$，m），P在函数的图象上，求|DP|的最小值．

Answer 1

分析 ①已知函数的解析式，把点（2，4）代入，然后再根据顶点坐标公式及方程两根之和和两根之差，列出三个式子，从而求解；
②根据抛物线的表达式求出|DP|的最小值即可．

解答 解：①∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（2，4），
∴4a+2b+c=4 （1）
∵顶点的横坐标是$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$（2）
∵函数图象与x轴交点为B（x₁，0）和C（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-2ac}{{a}^{2}}$=13（3）
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
由（2）得：a=-b代入（1）得：-2b+c=4 c=2b+4，
将a=-b，c=2b+4代入（3）得：b²+2b（2b+4）=13b²，
解得：b=0或b=1，
∵b=0不合题意，
∴b=1，a=-1，c=6，
∴y=-x²+x+6；
②已知点D（$\frac{1}{2}$，m），显然D在对称轴上，
P在函数的图象上，若|DP|最小，
只需D、P重合，都是抛物线的顶点即可，
此时|DP|的最小值是0．

点评 主要考查了用待定系数法求函数的解析式，还考查一元二次方程与函数的关系，考查最值问题，是一道中档题．