Question

如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC，
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求直线EC与平面ABE所成线面角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，从而AM⊥BC，由此能证明AM⊥平面EBC．
（2）以CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EC与平面ABE所成线面角的正切值．

解答： （1）证明：∵ACDE是正方形，∴AM⊥EC，
∵正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AC⊥BC，
∴BC⊥平面ACDE，
∵AM?平面ACDE，∴AM⊥BC，
∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．
（2）解：由题意，以CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，
AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），
E（2，0，2），C（0，0，0），

AB

=（-2，2，0），

AE

=（0，0，2），
设平面ABE的法向量

n

=（x，y，z），

n • AB =-2x+2y=0 n • AE =2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0），

CE

=（2，0，2），
设直线EC与平面ABE所成线面角为θ，
sinθ=|cos＜

EC

，

n

＞|=|

2

2 × 8

|=

1

2

，
∴θ=30°，∴tanθ=

3

3

．
∴直线EC与平面ABE所成线面角的正切值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．