Question

已知方程a^2x+1=x²+x有一实数解x₀，且x∈（

1

4

，

1

2

），求a的范围．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：分离参数得出a=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

），构造函数f（x）=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

）是单调递增函数，
求出最值，运用2个函数图象的交点问题求解即可．

解答： 解：∵a^2x+1=x²+x，
∴a=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

），
令f（x）=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

）根据函数解析式判断f（x）是单调递增函数，
f（

1

4

）=（

5

16

） 

2

3

，
f（

1

2

）=

3

2

，
∴y=a与f（x）=

2x+1	x2+x

=（x²+x） 

1

2x+1

，x∈（

1

4

，

1

2

）有1个交点，
∴（

5

16

） 

2

3

＜a＜

3

2

，

点评：本题考查了复杂函数的单调性，运用分离参数，构造函数，运用单调性判断范围，即可得出所求字母的范围，属于中档题．