Question

设a∈N₊，且n∈N₊时，求证：aⁿ⁺²+（a+1）²ⁿ⁺¹能被a²+a+1整除．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题考查的知识点是数学归纳法，我们可以先验证①n=1时命题是否成立②假设n=k时命题成立③推证n=k+1时命题成立，即可得结论．

解答： 证明：（1）当n=1时，a³+（a+1）³=（2a+1）（a²+a+1）可被a²+a+1整除
（2）假设n=k（k∈N^*）时，a^k+2+（a+1）^2k+1能被a²+a+1整除，
则当n=k+1时，
a^k+3+（a+1）^2k+3=a•a^k+2+（a+1）²（a+1）^2k+1
=a[a^k+2+（a+1）^2k+1]+（a²+a+1）（a+1）^2k+1，
由假设可知a[a^k+2+（a+1）^2k+1]能被（a²+a+1）整除，
（a²+a+1）（a+1）^2k+1也能被（a²+a+1）整除
∴a^k+3+（a+1）^2k+3能被（a²+a+1）整除，
即n=k+1时命题也成立，
∴对任意n∈N^*原命题成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．