Question

已知函数f（x）=

1+x

+

1-x

．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；
（2）设F（x）=m

1-x2

+f（x），若记f（x）=t，求函数F（x）的最大值的表达式g（m）．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可得到结论；
（2）根据二次函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）有意义，须满足

1+x≥0 1-x≥0

，得-1≤x≤1，
故函数定义域是{x|-1≤x≤1}．
∵函数定义域关于原点对称，且f(-x)=

1-x

+

1+x

=f(x)，
∴函数f（x）是偶函数．
（2）设f（x）=t，则

1-x2

=

1

2

t2-1，
∵[f(x)]2=2+2

1-x2

，0≤

1-x2

≤1
∴2≤[f（x）]²≤4，
∵f（x）≥0，∴

2

≤f(x)≤2，
即函数f（x）的值域为[

2

，2]，即t∈[

2

，2]
∴F(x)=m(

1

2

t2-1)+t=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]
令h(t)=

1

2

mt2+t-m∵抛物线y=h（t）的对称轴为t=-

1

m

①当m＞0时，-

1

m

＜0，函数y=h（t）在[

2

，2]上单调递增，
∴g（m）=h（2）=m+2；
②当m=0时，h（t）=t，g（m）=2
③当m＜0时，-

1

m

＞0，若0＜-

1

m

≤

2

，即m≤-

2

2

时，
函数y=h（t）在[

2

，2]上单调递减，
∴g(m)=h(

2

)=

2

；
若

2

＜-

1

m

≤2，即-

2

2

＜m≤-

1

2

时，g(m)=h(-

1

m

)=-m-

1

2m

；
若-

1

m

＞2，即-

1

2

＜m＜0时，
函数y=h（t）在[

2

，2]上单调递增，
∴g（m）=h（2）=m+2；
综上得g(m)=

m+2，(m＞- 1 2 ) -m- 1 2m ，(- 2 2 ＜m≤- 1 2 ) 2 ．(m≤- 2 2 )

．

点评：本题主要考查函数奇偶性和最值的求解，根据函数奇偶性的定义以及二次函数的图象和性质是解决本题的关键．