Question

已知向量

p

=（2sin（x-

π

6

），1），

q

=（cosx，-

1

2

），函数f（x）=

p

•

q

（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期对称中心及单调减区间；
（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线，求a、b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用数量积得坐标运算，两角差的正弦公式，二倍角公式化简解析式，由周期公式、正弦函数的对称中心、的单调减区间，分别求出函数f（x）对应的最小正周期、对称中心、单调减区间；
（Ⅱ）根据f（C）=0和C的范围求出角C，再根据向量共线的坐标条件和正弦定理得b=2a，见那个c=3、C的值代入余弦定理化简，最后联立求出a、c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f(x)=

p

•

q

=2sin(x-

π

6

)cosx-

1

2

=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)cosx-

1

2

=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x-

π

6

=kπ（k∈Z）得，x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z，
f（x）的对称中心是（

π

12

+

kπ

2

，-1）（k∈Z），
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间：[ 
（Ⅱ）由f（C）=0得，sin(2C-

π

6

)-1=0，即sin(2C-

π

6

)=1，
因为0＜C＜π，所以-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
则2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

，
因为向量

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线，
所以sinB-2sinA=0，即sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a，①
又c=3，由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，即9=a²+b²-2abcos

π

3

，②
由①②得，a=

3

，b=2

3

．

点评：本题考查掌握数量积的坐标运算，两角和的正弦公式、二倍角公式，正弦、余弦定理，正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，利用向量的数量积及其化简三角函数是解题的关键，考查知识广泛，比较综合．