Question

函数f（x）=x²+ax+3在区间[-2，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：借助于函数的图象研究单调性，确定最小值，主要是从开口方向、对称轴与区间的关系来确定函数的最小值．

解答： 解：f（x）=x²+ax+3=(x+

a

2

)2+3-

a2

4

，
所以该函数在区间（-∞，-

a

2

]上递减，在[-

a

2

，+∞）上递增，
（1）当-

a

2

≤-2即a≥4时，f（x）在[-2，2]上单调递增，故g（a）=f（-2）=7-2a；
（2）当-2＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜4时，f（x）在[-2，-

a

2

]上递减，在[-

a

2

，2]上递增，所以g(a)=f(-

a

2

)=3-

a2

4

；
（3）当-

a

2

≥2，即a≤-4时，原函数在[-2，2]上递减，所以g（a）=f（2）=7+2a，
综上：g（a）=

7-2a，a≥4 3- a2 4 ，-4＜a＜4 7+2a，a≤-4

．

点评：本题考查了二次函数在指定区间上的最值问题，一般先结合图象，利用对称轴与区间的关系讨论单调性，再求最值．