Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，且对任意n∈N^*，都有a_n+1=ba_n+c，其中b，c是常数．
（1）若数列{a_n}是等差数列，且c=2，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等比数列，且|b|＜2，当从数列{a_n}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{a_n}的前n项和S_n＜

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256

成立的n的取值集合．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）当c=2时，求出a₂，a₃的值，由等差数列的性质列式求出b，然后分类求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由数列{a_n}是等比数列，根据等比数列的性质得到c=0或2b+c=2，当2b+c=2时不满足题意，当c=0时分b=0和b≠0讨论，当b≠0时由a_n，a_n+1，a_n+2按某种顺序排列成等差数列得到1+b=2b²，或1+b²=2b，或b+b²=2，结合b的范围求出b，代入等比数列的求和公式求解S_n＜

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得答案．

解答： 解：（1）当c=2时，由已知得，
a₁=2，a₂=ba₁+2=2b+2，a3=ba2+2=2b2+2b+2，
∵{a_n}是等差数列，
∴a₁+a₃=2a₂，
即2+（2b²+2b+2）=2（2b+2），
∴b²-b=0，解得b=0或b=1．
当b=0时，a_n=2对n∈N^*有a_n+1-a_n=0成立，
∴数列{a_n}是差数列；
当b=1时，a_n+1=a_n+2（n∈N^*），即a_n+1-a_n=2成立，数列{a_n}是差数列．
∴数列{a_n}的通项公式分别为a_n=2或a_n=2n．
（2）∵{a_n}是等比数列，
∴a1a3=a22，
即2[b（2b+c）+c]=（2b+c）²，化简得2bc+c²=2c，
∴c=0或2b+c=2．
当2b+c=2时，a₂=ba₁+c=2b+c=2，a_n=2，不满足S_n＜

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；
当c=0时，若b=0，则a₁=0，与a₁=2矛盾，
∴b≠0，则an=2bn-1，
则an+1=2bn，an+2=2bn+1，
∵a_n，a_n+1，a_n+2按某种顺序排列成等差数列，
∴1+b=2b²，或1+b²=2b，或b+b²=2，
解之得b=1，-

1

2

，-2．
又∵|b|＜2
∴b=-

1

2

，或b=1，
当b=-

1

2

时，
则Sn=

2[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

4

3

[1-(-

1

2

)n]，
由S_n＜

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，得

4

3

[1-(-

1

2

)n]＜

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256

，即(-

1

2

)n＞

1

1024

．
∵n为正整数，
∴n取值集合为{2，4，6，8}．
当b=1时，Sn=2n，不合题意．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，训练了数列不等式的解法，体现了分类讨论的首项思想方法，是压轴题．