Question

已知二次函数f（x）=x²-4x-4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先不二次函数的一般式转化成顶点式，进一步求出对称轴方程，根据轴固定和区间不固定进行分类讨论，然后确定函数的单调性，进一步求出最大值和最小值．

解答： 解：（1）二次函数f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8
二次函数的开口方向向上，对称轴方程：x=2
①当t=1时，x∈[t，t+2]距离对称轴的距离相等，所以f(x)max=f(t)=t2-4t-4
②当0＜t＜1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离远，所以f(x)max=f(t+2)=t2-8
③当1＜t＜2时，x=t离对称轴的距离必x=t+2的距离远，所以f(x)max=f(t)=t2-4t-4
④当t＜0时，函数为单调递减函数，所以f(x)max=f(t)=t2-4t-4
⑤当t＞2时，函数是单调递增函数，所以f(x)max=f(t+2)=t2-8
（2）①当0＜t＜2时，f（x）_min=-8
②当t＜0时，函数为单调递减函数，所以f(x)min=f(t+2)=t2-8
③当t＞2时，函数为单调递增函数，所以f(x)min=f(t)=t2-4t-4
故答案为：①当t=1时，f(x)max=f(t)=t2-4t-4
②当0＜t＜1时，f(x)max=f(t+2)=t2-8
③当1＜t＜2时，f(x)max=f(t)=t2-4t-4
④当t＜0时，f(x)max=f(t)=t2-4t-4
⑤当t＞2时，f(x)max=f(t+2)=t2-8
（2）①当0＜t＜2时，f（x）_min=-8
②当t＜0时，f(x)min=f(t+2)=t2-8
③当t＞2时，f(x)min=f(t)=t2-4t-4

点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴方程，二次函数轴固定与区间不固定之间的讨论，求二次函数的最值．