Question

20．已知数列{a_n}为等差数列，a₁=sinθ（-$\frac{π}{2}$≤θ≤$\frac{π}{2}$），a₅=a₃+1，且其前10项和S₁₀=$\frac{55}{2}$．
（1）求θ的值；
（2）求数列b_n=a_n+（$\frac{1}{2}$）${\;}^{2{a}_{n}}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过a₅=a₃+1可知d=$\frac{1}{2}$，进而结合S₁₀=$\frac{55}{2}$可知a₁=$\frac{1}{2}$，进而结合三角函数的单调性可知θ的值为$\frac{π}{6}$；
（2）通过（1）可知a_n=$\frac{n}{2}$，b_n=$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：（1）记等差数列{a_n}的公差为d，则由a₅=a₃+1可知1=a₅-a₃=2d，即d=$\frac{1}{2}$，
由S₁₀=$\frac{55}{2}$=10a₁+$\frac{10×9}{2}$×$\frac{1}{2}$可知a₁=$\frac{1}{2}$，
又a₁=sinθ（-$\frac{π}{2}$≤θ≤$\frac{π}{2}$），
所以θ的值为$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）可知a_n=$\frac{n}{2}$，b_n=a_n+（$\frac{1}{2}$）${\;}^{2{a}_{n}}$=$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
所以所求值为$\frac{1}{2}$×$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{n（n+1）}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查三角函数的单调性及求值，考查分组法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．