Question

12．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右焦点F（1，0）的直线与椭圆C交于两点A、B，自A、B向直线x=5作垂线，垂足分别为A₁、B₁，且$\frac{|A{A}_{1}|}{AF}$=$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记△AFA₁、△FA₁B₁、△BFB₁的面积分别为S₁、S₂、S₃，证明：$\frac{{S}_{1}•{S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$是定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）设点A（x，y），写出|AA₁|、|AF|的表达式，由$\frac{|A{A}_{1}|}{AF}$=$\sqrt{5}$求出椭圆C的方程；
（2）根据题意可设直线方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$得（4m²+5）y²+8my-16=0，由根与系数的关系，结合题意求出△AFA₁的面积S₁，△FA₁B₁的面积S₂，△BFB₁的面积S₃，计算$\frac{{S}_{1}{•S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$的值即可．

解答 解：（1）设点A（x，y），则|AA₁|=5-x，|AF|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$，
由$\frac{|A{A}_{1}|}{AF}$=$\sqrt{5}$，得$\frac{|5-x|}{\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
化简得$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
由A是椭圆C上任一点，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）证明：∵直线AB的斜率不可以为0，而可以不存在，
∴可设直线方程为：x=my+1；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
消去x得（4m²+5）y²+8my-16=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{+y}_{2}=-\frac{8m}{{4m}^{2}+5}}\\{{{y}_{1}y}_{2}=-\frac{16}{{4m}^{2}+5}}\end{array}\right.$（*）；
由题意：△AFA₁的面积为S₁=$\frac{1}{2}$|AA₁|•|y₁|=$\frac{1}{2}$|5-x₁|•|y₁|，
△FA₁B₁的面积为S₂=$\frac{1}{2}$|BB₁|•|y₂|=$\frac{1}{2}$|5-x₂|•|y₂|，
△BFB₁的面积为S₃=$\frac{1}{2}$|A₁B₁|•4=2|y₁-y₂|；
∴$\frac{{S}_{1}{•S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{16}$•$\frac{（5{-x}_{1}）（5{-x}_{2}）（{{-y}_{1}y}_{2}）}{{{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$
=$\frac{1}{16}$•$\frac{（4-{my}_{1}）（4-{my}_{2}）（{{-y}_{1}y}_{2}）}{{{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$
=-$\frac{1}{16}$•$\frac{{{y}_{1}y}_{2}[16-4m{（y}_{1}{+y}_{2}）{{{+m}^{2}y}_{1}y}_{2}]}{{{（y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-{{4y}_{1}y}_{2}}$，
将（*）式代入上述式子，化简并计算可得
$\frac{{S}_{1}{•S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$=-$\frac{1}{16}$•$\frac{-\frac{16}{{4m}^{2}+5}•[16-4m•（-\frac{8m}{{4m}^{2}+5}）{+m}^{2}•（-\frac{16}{{4m}^{2}+5}）]}{{（-\frac{8m}{{4m}^{2}+5}）}^{2}-4•（-\frac{16}{{4m}^{2}+5}）}$=$\frac{1}{4}$；
∴$\frac{{S}_{1}•{S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$是定值，且该定值是$\frac{1}{4}$．
（注意直线AB的点斜式方程需讨论斜率不存在的情况，没有讨论须扣分）

点评 本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了椭圆的标准方程与直线的斜率存在与否进行分类讨论的问题，是综合题．