Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）的左焦点F与抛物线y²=-4x的焦点重合，直线x-y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．
（1）求该椭圆C的方程；
（2）过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D、E两点，记△GFD的面积为S₁，△OED的面积为S₂，问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 解：（1）通过抛物线方程可知c=1，利用点到直线的距离公式可知e=$\frac{|0-0+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，结合a、b、c三者之间的关系可求出a=2、b=1，进而可得椭圆C的方程；
（2）通过假设存在直线AB使得S₁=S₂，则可设其方程为：y=k（x+1）（k≠0），并与椭圆C方程联立，结合韦达定理可得G（$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），利用DG⊥AB可得D（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），结合△GFD～△OED可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，联立S₁=S₂整理得8k²+9=0，由于此方程无解推出假设不成立．

解答 解：（1）由题意，知：c=1，e=$\frac{|0-0+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，b=1，
∴该椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）结论：不存在直线AB，使得S₁=S₂．
理由如下：
假设存在直线AB，使得S₁=S₂，显然直线AB不能与x、y轴垂直．
所以直线AB的斜率存在，设其方程为：y=k（x+1）（k≠0），
联立直线AB与椭圆C方程，消去y得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$，
所以G（$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），
由DG⊥AB，得：$\frac{{y}_{G}}{{x}_{G}-{x}_{D}}$×k=-1，解得：x_D=$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，即D（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），
因为△GFD～△OED，所以$\frac{|GF|}{|OE|}$=$\frac{|DG|}{|OD|}$，所以$\frac{|GF|}{|OE|}$•$\frac{|DG|}{|OD|}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，即$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，
又因为S₁=S₂，所以|GD|=|OD|，
所以$\sqrt{（\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}）^{2}+（\frac{3k}{4{k}^{2}+3}）^{2}}$=|$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$|，
整理得：8k²+9=0，由于此方程无解，故不存在直线AB，使得S₁=S₂．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查转化与化归思想、方程思想，考查椭圆方程、直线方程、相似三角形等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．