Question

10．在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，将向量$\overrightarrow{AN}$用向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．

解答 解：设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，
则$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BM}$，
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$×t$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
=（$\frac{1}{2}$-$\frac{t}{2}$）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$-$\frac{t}{2}$，μ=$\frac{t}{2}$，
∴λ+μ=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来，属中档题．