Question

9．在如图所示的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁B₁B和面AA₁C₁C都是边长为1的正方形且互相垂直，D为AA₁的中点，E为BC₁的中点．
（Ⅰ）证明：DE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求平面C₁BD和平面CBD所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过E作EF∥BC交BC于F，可得EF为△BB₁C₁ 的中位线，结合已知可得EF∥DA₁，且EF=DA₁，则四边形DA₁FE为平行四边形，得DE∥A₁F，由线面平行的判定可得DE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）由题意可得AC⊥平面AA₁B₁B，则AC⊥BC．分别以BA、AD、AC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面C₁BD和平面CBD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面C₁BD和平面CBD所成的角（锐角）的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，过E作EF∥BC交BC于F，
∵E为BC₁的中点，∴EF为△BB₁C₁ 的中位线，则EF=$\frac{1}{2}B{B}_{1}$，
又D为AA₁中点，∴D${A}_{1}=\frac{1}{2}A{A}_{1}$，
∵四边形AA₁B₁B为正方形，∴EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四边形DA₁FE为平行四边形，则DE∥A₁F，
∵DE?平面A₁B₁C₁，A₁F?平面A₁B₁C₁，
∴DE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）解：∵AA₁C₁C是正方形，∴AC⊥AA₁，
又平面AA₁B₁B⊥平面AA₁C₁C，且平面AA₁B₁B⊥平面AA₁C₁C，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，则AC⊥BC．
分别以BA、AD、AC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，1），D（0，$\frac{1}{2}$，0），B（-1，0，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{BD}=（1，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{BC}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（1，1，1）$．
设平面BCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x+z=0}\end{array}\right.$，令y=2，得$\overrightarrow{m}=（-1，2，1）$；
设平面C₁BD的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=x+y+z=0}\end{array}\right.$，令y=2，得$\overrightarrow{n}=（-1，2，-1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{4}{\sqrt{1+4+1}×\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{3}$．
∴平面C₁BD和平面CBD所成的角（锐角）的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．